#3//センター数学ⅰA【二次関数】

二次関数は"そこそこ"正確な図を書くのを目標とする。("〜"は後に説明する。)

まず第一に平方完成する。

これが出来ないと後の問題に響くから精確さが求められる。

という二次方程式があったら

を思い浮かべ、軸のx座標は

と求まる。次に軸のy座標は

と(1.2)式から(1.1)式を作ろうとした時の誤差を調整するために足すのが(1.3)式というイメージで考えると良い。自分はx座標のみ覚えてy座標はその場で計算して行くスタイルで(1.3)式はゴチャゴチャしてるし覚えなくても良いと思う。

頂点が求まると、グラフの概形を知りたい。

そこでの係数aに着目する。

a>0の時は下に凸

a<0の時は上に凸

x座標と交わるか否かは頂点の位置に依存していて、

(ⅰ)下に凸のとき

(頂点のy座標)<0で交わる。

(頂点のy座標)>0で交わらない。

(ⅱ)上に凸のとき

(頂点のy座標)>0で交わる。

(頂点のy座標)<0で交わらない。

と判断できる。判別式で判断するのも有効だが

センター数学においては速さ命だから求めた頂点を利用するのが王道。

二次関数において√の中身を問うなら解の公式、分数か整数の中身を問うなら因数分解という時短テクもあったり。

ここまでがグラフを書くための作業で、

次からは問題への取り組み方を書く。

①【放物線のx軸との2交点の間の長さは？】

という問題で使えるのが

｜頂点のy座標｜=｜a｜

(求める長さは2L)

という公式で、これによって2交点の座標を求めずに2交点間距離を求める事が出来る。

元々という式の意味を考えたら

x=2ならy=4aになるという右に2進んで上に4a上がるという性質を逆手に取った様な公式である。

＊もしx軸の代わりに直線と放物線の斜めに位置する交点の場合は

まず2交点のx座標をそれぞれ求めて交点x座標の差を求める。

その後直線の式に求めた2つのxを代入して2交点のy座標をそれぞれ求めて交点y座標の差を求める。

最後に三平方の定理で2交点間距離を求めれば良い👌

②【グラフの移動】は頂点回帰。

グラフを

x軸方向にs

y軸方向にt

移動した時になった。

(又は移動前はで移動後のグラフは？)

みたいな問題では必ず頂点を移動させてその後平方完成で頂点を求める作業を逆向きに行ってグラフを求めるのが1番計算ミスが起きにくい。与えられた式にやと変形する方法もあるがこれは符号間違いが起こる可能性があるので頂点を先に求めてからグラフを求める方が良い👌←経験者は語る😀

③【値に関わらず必ず通る点は？】

という問題は見た瞬間その値で式を整理する。

④【最大最小問題】

これはセンターでのみ使えるが指定された範囲での点と頂点のどれか。図を見て判断する。

＊もし答えの桁が異なったり分数と整数だったりしたらどっちが大小か考えずに答えることも可能👌

⑤【解の配置】

判別式の符号と軸と端点の符号で絞ると教科書には書いてあるがセンター数学では必ず頂点を求めるから

ⅰ)頂点y座標の符号

ⅱ)軸の位置

ⅲ)端点のy座標の符号

の3条件で絞られる。

⑥【定数項のみから判断できる物】

下に凸かつ(定数項)<0又は

上に凸かつ(定数項)>0なら

x軸の正負で1回ずつ交わる。

これらが分かれば多分二次関数はおゆー😁

ほな、次は図形と計量説明しやーす👨🏻